Міністерство Освіти і Науки України Національний Університет “Львівська Політехніка”
Кафедра ЕОМ Елементи теорії множин I Методичні вказівкидо практичних занять та самостійної роботи з курсу “Дискретна математика”для студентів базового напрямку 6.0915 “Комп’ютерна інженерія” Затвердженона засіданні кафедриЕлектронних Обчислювальних МашинПротокол № 6 від 21 січня 2003 року Львів – 2003  Елементи теорії множин I : Методичні вказівки до практичних занять та самостійної роботи з курсу “Дискретна математика” для студентів базового напрямку 6.0915 “Комп’ютерна інженерія” / Укладачі: І. Мороз, Р. Попович – Львів: Національний університет “Львівська політехніка”, 2003, 18 с. Укладачі: І. Мороз, ст.викл. Р. Попович, к.т.н., доцент Відповідальний за випуск: Мельник А. О., професор, завідувач кафедри ЕОМ Рецензенти: Ємець В. Ф., професор кафедри ЕОМ, д. фіз.-мат. н. Юрчак І. Ю., доцент кафедри САПР, к. т. н. Елементи теорії множин I Вступ Дискретна математика є розділом математики, що зародилася в давні часи. Її головною відмінністю є дискретність, тобто антипод неперервності. Дискретна математика включає традиційні розділи математики, які вже сформувалися (математичну логіку, алгебру, теорію чисел), і нові, що інтенсивно розвиваються. У більш як двотисячорічній історії дискретної математики сучасний період є одним із найінтенсивніших періодів її розвитку: дуже швидко розширюється сфера застосування, інтенсивно зростають обсяги нової інформації та кількість нових результатів. Якщо ще порівняно недавно ця наука була сферою інтересів лише вузького кола фахівців, то тепер вона перетворюється на наукову дисципліну, дуже важливу й потрібну для багатьох, а у сфері сучасної освіти – для всіх. Масове використання обчислювальної техніки та інформаційних технологій значно розширює сферу прикладних досліджень, у яких все більше застосовується апарат дискретної математики. Базовим розділом як дискретної математики, так і взагалі всієї математики, є теорія множин. Відповісти на питання “Що таке множина ?” не так просто, як це здається на перший погляд. У повсякденному житті та практичній діяльності часто доводиться говорити про деякі сукупності різних об’єктів: предметів, понять, чисел, символів тощо. Наприклад, сукупність деталей механізму, сукупність сторінок у книзі, сукупність книг у бібліотеці, стадо овець, група студентів. На підставі інтуїтивних уявлень про такого роду чітко визначені сукупності об’єктів сформувалося математичне поняття множини як об’єднання об’єктів у єдине ціле. Саме такої точки зору дотримувався засновник теорії множин німецький математик Г. Кантор. Множина належить до категорії найзагальніших, основоположних понять математики. Так, група математиків, які працювали під псевдонімом Н.Бурбакі, стверджувала: “Множина утворюється з елементів, що мають певні властивості, знаходяться у певних відношеннях між собою чи з елементами інших множин” або ж “Логічно кажучи, майже всю сучасну математику можна вивести з єдиного джерела: теорії множин”. Математичне поняття множини пов’язане з абстракцією, яку називають абстракцією множини. Суть її полягає в тому, що існуючі зв’язки предметів, які об’єднуються між собою та з іншими предметами, ігноруються, а замість них предметам, що об’єднуються, приписують нові зв’язки одного з одним, які виражають їх належність множині. При цьому вважається, що два предмети, які нічим не різняться, є одним і тим самим предметом. Способи задання множин Об’єкти, що утворюють множину, називаються її елементами, або членами. Прикладами множин можуть бути: множина сторінок книги (кожна сторінка є елементом цієї множини); множина всіх дійсних чисел, більших від 0 і менших від1; множина студентів певного учбового закладу тощо. Множина є визначеною. Коли можна встановити, чи є будь-який об’єкт її членом чи ні. Для позначення конкретних множин, як правило, використовують великі літери A, S, X,… або великі літери з індексами A1, A2 і т.д. Для позначення елементів множин загалом застосовують...